GAMES104：游戏引擎中物理系统的基础理论和算法

第 10 讲｜主题：Physics System — Basic Concepts
视频时长：约 2 小时 7 分 15 秒
说明：本文根据本地视频课件与讲解脉络整理，不是逐字稿。

一句话理解

游戏物理系统的目标不是逐项复刻真实世界，而是在固定的实时预算内，稳定地让物体具有可信的运动、碰撞和交互。它将碰撞形状与刚体属性输入数值积分器更新状态，先用广相过滤候选对，再以窄相得到接触信息，最后由约束/冲量求解器修正速度和姿态；射线检测、碰撞分组、休眠、连续碰撞和确定性策略，则让这条管线能服务于实际游戏逻辑。

本讲学习目标

了解静态、动态、运动学刚体与 Trigger 在游戏中的角色分工。
区分球、胶囊、盒、凸体、三角网格与高度场等常用碰撞形状。
掌握力、冲量、质量、摩擦、恢复系数和刚体状态的基本含义。
理解显式欧拉、隐式欧拉与半隐式欧拉的稳定性取舍。
建立线性运动与旋转刚体运动的对应关系。
说明广相、窄相、Minkowski 差、GJK 和 SAT 分别解决什么问题。
理解接触点、法线、穿透深度如何进入约束求解与碰撞响应。
了解 Raycast、碰撞分组、休眠、连续碰撞和确定性模拟的工程价值。

1. 游戏物理系统到底负责什么

游戏物理是 Gameplay、动画、渲染之外的一套状态演化系统。它既要回答“物体下一帧在哪里”，也要回答“哪些对象接触、能否穿过、受到碰撞后如何变化”。

在游戏中，物理通常承担：

角色、载具、可破坏物和抛射物的运动与碰撞。
地形、墙体、道具、机关与角色之间的空间阻挡。
触发区域的进入、离开与停留事件。
射线、扫掠等快速空间查询，用于交互、武器命中、脚底探测和 AI 感知。
对动画或 IK 的接触补充，例如脚底地面高度、可攀爬点和手部交互位置。

它不是把美术网格直接丢进一个“真实世界模拟器”。物理引擎使用为计算而设计的简化表示，并在真实感、可控性、性能、稳定性与可重复性之间取舍。

2. 物理 Actor 与交互类型

2.1 Static、Dynamic 与 Kinematic

游戏世界中的碰撞对象常可分为三类：

类型	是否受力/冲量影响	是否由物理积分移动	常见用途
Static	否	否	地面、建筑、静态障碍物
Dynamic	是	是	箱子、球、碎片、可推动物体
Kinematic	通常不受物理驱动	由游戏逻辑直接指定	电梯、移动平台、脚本控制物体

Dynamic Actor 将质量、速度、外力和碰撞响应交给物理系统。Static Actor 只提供不可动的边界。Kinematic Actor 虽然也能移动，却由动画、脚本或角色控制器直接决定位置，因此必须谨慎处理它与 Dynamic Actor 的接触关系。

2.2 为什么 Kinematic Actor 容易出问题

运动学对象可以在一个时间步内直接改变位置，不必遵守力和冲量带来的连续运动。若它移动过快或与动态物体发生深度穿插，求解器只能在有限迭代中补救，可能造成：

动态物体被突然挤飞或穿透。
移动平台上的物体无法稳定继承平台速度。
角色控制器与物理对象之间出现抖动、卡住或穿墙。

因此，运动学对象虽然方便 Gameplay 控制，但仍需要合理速度、碰撞形状、接触规则和必要的连续检测支持。

2.3 Trigger：检测事件，而非产生阻挡

Trigger 通常是只检测重叠关系的碰撞体：角色进入、离开或停留时触发事件，但不会像实体墙壁一样施加物理响应。

常见用途包括：

区域提示、任务触发和关卡入口。
拾取物、伤害区域和检测范围。
相机切换区、音乐区与环境效果区。

它将“是否发生空间重叠”的信息交给 Gameplay，而不把它误当成“必须模拟力学接触”的问题。

3. 碰撞形状：用足够简单的几何服务交互

3.1 形状选择的原则

渲染网格追求视觉细节，碰撞形状追求计算效率与稳定接触。两者通常不应完全等同。物理形状的选择应围绕：

是否需要精确贴合外观，还是只需大致阻挡？
对象是静态、动态还是查询对象？
它会与多少其他对象接触？
是否需要连续碰撞或高频查询？

越复杂的形状通常越接近外观，但窄相检测、接触生成与求解成本也越高。

3.2 常用基本体

Sphere

球体只需中心和半径，碰撞检测简单、旋转无关，常用于弹丸、拾取物、近似碰撞体或粗略范围检测。缺点是对人形、长条物体和建筑边界贴合较差。

Capsule

胶囊由线段与半径构成，顶部和底部圆滑，适合角色控制器。相较盒体，胶囊更容易越过小台阶、从墙角滑开，也不容易因旋转角点卡住。

Box

盒体能较好表示家具、箱子、平台和规则建筑。轴对齐盒（AABB）适合广相包围体；有方向盒（OBB）能跟随物体旋转，但相交测试更复杂。

3.3 凸体、三角网格与高度场

Convex Mesh

凸体满足任意两点连线都在形状内部的性质。这个性质使支持映射、GJK、SAT 等算法更易高效工作，因此凸包常用于动态刚体的较复杂近似。

Triangle Mesh

三角网格可以较准确表示静态场景的复杂表面，如建筑、岩石与关卡结构。但它通常不适合作为高频动态物体之间的通用碰撞形状：接触面复杂、计算昂贵、数值稳定性更难控制。

Height Field

高度场将地形表示为规则二维网格上的高度采样，特别适合大面积地面、山丘和赛道。它存储紧凑、查询方便，但只能表达“每个水平位置一个高度”的表面，不能天然表示悬空洞穴或垂直墙面。

形状	优点	局限	典型用途
Sphere	检测快、旋转无关	贴合度低	弹丸、范围、粗略碰撞
Capsule	移动平滑、适合竖直角色	不适合棱角物体	角色控制器
Box	简单、适合规则结构	角点易卡、旋转处理更复杂	箱子、平台、建筑
Convex Mesh	可表达复杂外形，适合凸体算法	不能表达凹陷细节	动态道具、凸包近似
Triangle Mesh	静态细节丰富	动态接触代价高	静态场景
Height Field	大地形高效	表达能力受限	地面、山地、赛道

4. 形状属性：质量、摩擦与弹性

4.1 质量与密度

质量 (m) 决定同一外力下物体的加速度：

$F = ma$

若形状已知体积 (V)，可由密度 ρ 推导质量：

$m = \rho V$

游戏中并不一定严格使用现实材料密度；更常见的目标是获得符合玩法的相对重量和响应。例如一个可推动箱子可能需要比视觉上更轻，以让角色操作更顺畅。

4.2 摩擦

摩擦决定接触面上的切向相对速度如何被抑制。摩擦过小，物体会像在冰上滑；摩擦过大，物体容易迅速停住或产生不自然的卡滞。

物理引擎通常将摩擦作为接触约束的一部分求解，而不是每帧随意缩小速度。这样它能与接触法线、法向冲量和质量分布共同决定结果。

4.3 恢复系数

恢复系数（Restitution）描述碰撞后的反弹倾向。它主要影响接触法线方向的相对速度：

接近 0：更像非弹性碰撞，碰后不明显反弹。
较高：保留更多反向速度，呈现弹跳。

恢复系数不是“物体有多硬”的完整物理定义；在实时引擎中，它常是一个便于调节的接触参数，还会受阈值、休眠和求解器设置影响。

5. 力、冲量与粒子动力学

5.1 状态变量

对一个只考虑平移的质点，常见状态包括：

位置 (x(t))。
线速度 (v(t) = dx/dt)。
加速度 (a(t) = dv/dt)。
质量 (m)。

力满足：

$F = ma$

动量为：

$p = mv$

牛顿第二定律也可写为：

$F = \frac{dp}{dt}$

这些关系定义了“力如何持续改变速度，速度又如何持续改变位置”。

5.2 冲量

冲量是力在短时间内的累积：

$J = \int F,dt = \Delta p$

在碰撞、爆炸和瞬间击打中，力持续时间很短，直接以冲量修改速度更方便：

$v_{\mathrm{new}} = v_{\mathrm{old}} + \frac{J}{m}$

冲量是约束求解器处理接触的关键语言：碰撞不必被看作“巨大力的精确积分”，而可被近似为在接触点施加一个使速度满足约束的瞬时变化。

6. 时间积分：连续定律如何落到每一帧

6.1 为什么需要积分器

游戏物理是离散时间模拟。每个固定时间步 Δt，系统已知当前状态与外力，需要估计下一状态。选择不同积分方法，会直接影响稳定性、能量误差、计算成本和可调节性。

对一般动力学系统：

$\dot{x} = v$

$\dot{v} = a(x,v,t) = \frac{F(x,v,t)}{m}$

6.2 显式欧拉（Forward Euler）

显式欧拉只用当前状态计算下一步：

$v_{n+1} = v_n + a(x_n,v_n,t_n),\Delta t$

$x_{n+1} = x_n + v_n,\Delta t$

优点是实现非常简单，当前量已知即可直接更新。缺点是对振荡、弹簧、接触等系统容易引入能量误差，步长较大时可能迅速不稳定。

6.3 隐式欧拉（Backward Euler）

隐式欧拉使用下一时刻的状态：

$v_{n+1} = v_n + a(x_{n+1},v_{n+1},t_{n+1}),\Delta t$

$x_{n+1} = x_n + v_{n+1},\Delta t$

它在许多刚性系统上更稳定，数值能量通常不会像显式欧拉那样轻易爆炸；代价是未知的下一状态出现在公式右侧，常需要解方程或迭代。面对复杂非线性约束时，实现和计算成本都明显提高。

6.4 半隐式欧拉（Semi-implicit Euler）

半隐式欧拉先更新速度，再用新速度更新位置：

$v_{n+1} = v_n + a(x_n,v_n,t_n),\Delta t$

$x_{n+1} = x_n + v_{n+1},\Delta t$

它的成本接近显式欧拉，却通常具有更好的长期稳定性，因此在实时游戏物理中很常见。它不是绝对精确的解，但经常是“稳定性足够、成本可控”的工程选择。

6.5 固定步长与帧率

渲染帧间隔可能波动，而物理若直接使用可变 Δt，积分误差和接触稳定性会随帧率变化。常见做法是以固定时间步运行物理，在单帧内必要时执行多次子步；渲染可对相邻物理状态插值。

固定步长有助于：

限制单次积分误差。
让约束迭代次数和接触行为更可预测。
改善回放、网络同步和确定性模拟的基础条件。

7. 从质点到刚体：还要模拟旋转

7.1 刚体状态

刚体假设对象内部形状不变，但可整体平移和旋转。除线性部分外，还需记录：

朝向 (R) 或四元数 (q)。
角速度 ω。
角加速度 α。
转动惯量张量 (I)。
角动量 (L)。
力矩 τ。

刚体比质点复杂的原因是：同一外力施加在不同位置，可能产生不同的旋转效果。

7.2 线性量与角量的对应

线性运动	旋转运动
位置 (x)	朝向 (R)
线速度 (v)	角速度 ω
质量 (m)	转动惯量 (I)
动量 (p = mv)	角动量 (L = Iω)
力 (F = dp/dt)	力矩 (τ = dL/dt)

转动惯量不是一个固定标量就能完全描述的：物体绕不同轴旋转时，对角加速度的抵抗可能不同。惯量张量还会随物体朝向转换到世界空间，通常概念上写作：

$I_{\mathrm{world}} = R I_{\mathrm{body}}R^{\mathsf{T}}$

7.3 角速度与力矩

角速度方向沿旋转轴，大小表示单位时间的转角（弧度）。力作用在质心之外会产生力矩：

$\tau = r \times F$

其中 (r) 是从质心到施力点的向量。接触点的冲量也会同时改变线速度与角速度，因此撞击物体边缘时，物体通常会旋转，而不是只沿直线移动。

7.4 台球式碰撞的启示

球体碰撞示例展示了接触冲量包含法向与切向分量：

法向冲量阻止两物体继续沿接触法线相互靠近，并可体现恢复系数。
切向冲量与摩擦有关，会改变滑动速度并可能引入或改变自旋。

只计算物体中心速度无法完整表现这种交互；接触点相对于质心的位置和旋转惯量同样会进入求解。

8. 碰撞检测：先快后准

一帧中若有 (n) 个对象，直接对所有对象两两做精确检测需要约 (O(n²)) 次测试。物理引擎通常将碰撞检测分为广相（Broad Phase）与窄相（Narrow Phase）。

8.1 Broad Phase

广相的目标不是精确判断碰撞，而是尽量快速排除明显不可能相交的对象对，输出候选对集合。它常使用对象的 AABB、空间网格、树结构或排序结构。

课件展示的 Sort and Sweep（Sweep and Prune）思路是：

为对象在某个轴上记录 AABB 的最小端点与最大端点。
按端点排序并沿轴扫描。
只有投影区间重叠的对象才可能成为候选对。
利用相邻帧对象位置变化通常较小的特性，增量维护排序。

广相宁可产生少量假阳性，也不能漏掉真实可能碰撞的对象对；精确判断留给窄相。

8.2 Narrow Phase

窄相对广相候选对做精确的几何测试。除了回答“是否重叠”，它还应生成后续求解需要的接触信息：

接触点或接触点集合（Contact Manifold）。
接触法线（Contact Normal）。
穿透深度（Penetration Depth）。

这些数据决定约束求解器将沿哪个方向施加冲量、需要修正多大相对速度，以及如何稳定地处理接触面。

9. Minkowski 差与 GJK

9.1 Minkowski Sum 与 Difference

对于集合/形状 (A) 与 (B)：

Minkowski Sum：A ⊕ B = { a + b | a ∈ A, b ∈ B }
Minkowski Difference：A ⊖ B = { a - b | a ∈ A, b ∈ B }

两个凸形状相交，当且仅当原点位于它们的 Minkowski Difference 内部。这个转换将“两个形状之间是否相交”转化为“一个由差构成的形状是否包含原点”。

9.2 Support Mapping

凸体算法常使用支持函数：给定方向 (d)，返回形状在该方向上最远的点。对 Minkowski Difference 的支持点，可由：

$\operatorname{support}_{A\ominus B}(d) = \operatorname{support}_A(d)-\operatorname{support}_B(-d)$

得到。这样无需显式构造完整的差形状，也能逐步探索与原点相关的区域。

9.3 GJK

GJK（Gilbert–Johnson–Keerthi）利用支持映射迭代构造单纯形：二维中可能是点、线段、三角形，三维中可扩展到四面体。每轮检查当前单纯形与原点的关系：

若某个方向上找不到越过原点的支持点，可判定不相交。
若单纯形包围原点，可判定相交。
否则选择新的搜索方向，继续添加支持点。

GJK 适合凸体相交检测，其性能与支持映射实现密切相关。若需要进一步获得穿透深度和最小分离方向，通常还需结合额外算法（如 EPA）或其他接触生成方法。

10. Separating Axis Theorem（SAT）

分离轴定理（SAT）指出：两个凸形状不相交，当且仅当存在某个轴，使它们投影到该轴上的区间不重叠。这个轴称为分离轴。

对于二维凸多边形，常检查各边法线方向；对于三维凸多面体，候选轴通常包括：

两个形状各自面的法线。
两个形状边方向的叉积。

若所有候选轴上投影都重叠，则形状相交。投影重叠最小的轴还能为接触法线和穿透深度提供重要线索。

SAT 对盒体、多边形等形状很直观，但候选轴数量会随形状特征增加。它与 GJK 并非绝对替代关系：引擎可根据形状种类、接触需求和性能要求选择不同窄相算法。

11. 碰撞响应：把接触转为约束

11.1 接触约束

当窄相发现穿透或即将穿透，物理系统需要阻止物体继续向彼此内部运动。一个基础的法向约束可以理解为：接触点沿法线方向的相对速度不应继续为负。

求解器通过施加法向冲量，修正两物体的线速度与角速度，使接触后的相对速度满足约束。恢复系数可让碰撞后保留一定反弹速度；摩擦约束则处理切向滑动。

11.2 约束求解循环

课件给出的结构可概括为：

当前状态 → 应用外力/积分得到预测状态 → 生成碰撞与其他约束 → 迭代求解冲量 → 更新速度与位置

一个物体同时接触地面、墙壁、其他物体时，约束彼此耦合：修正一个接触点会影响另一个接触点。实时引擎通常采用有限次数的迭代求解，而不是追求一次得到精确解析解。

这解释了两个现象：

迭代次数太少，堆叠物体可能下沉、抖动或弹跳不稳。
迭代次数越多通常越稳定，但 CPU 预算也越高。

11.3 穿透修正与稳定性

离散检测常在对象已经有少量重叠后才发现碰撞。除了修正速度，系统往往还需要做位置层面的穿透修正或偏置，避免对象持续陷入彼此内部。

修正过强会造成可见弹跳或“爆开”，修正过弱则会长期穿透。稳定碰撞并非只取决于一个公式，而是积分步长、接触生成、约束排序、迭代次数、偏置与休眠策略的联合结果。

12. 物理查询、过滤与优化

12.1 Raycast

Raycast 从起点沿方向发射射线，查询与场景形状的首次相交。它通常返回命中距离、位置、法线和对象标识。

典型用途：

武器命中判定和视线检测。
鼠标点选、交互物体选择。
角色脚底向下探测地面。
AI 视野遮挡或导航辅助判断。

Raycast 是空间查询，不必让被命中的对象发生物理响应；这使它比构造一个短生命周期的真实弹丸更适合即时命中类玩法。

12.2 Collision Group / Layer

碰撞分组让系统在进入昂贵检测前就过滤不应交互的对象。例如：

玩家与触发器需要查询重叠，但不需要实体阻挡。
两个装饰性碎片之间可能无需碰撞。
弹丸只需检测环境与特定阵营角色。

分组与掩码本质上是对“哪些对象对允许进入物理管线”的声明。正确设计过滤矩阵能显著减少候选对，也是避免玩法规则混乱的重要边界。

12.3 Sleeping

静止或近似静止的动态刚体若每帧继续参与积分、碰撞和约束求解，会消耗大量资源。休眠（Sleeping）会在物体速度、角速度或受力低于阈值且保持一段时间后暂停其模拟；当受到外力、碰撞或显式唤醒时再恢复。

休眠尤其适合大规模堆叠场景。阈值应避免过低导致永不休眠，也要避免过高导致物体尚在可见运动时突然冻结。

13. 连续碰撞检测（CCD）

13.1 离散检测的穿透问题

普通离散碰撞通常只比较离散时间点的形状位置。高速小物体可能在相邻两个物理步之间穿过薄墙：前一帧在墙前，后一帧已在墙后，两端都没有检测到重叠。这类问题通常称为 tunneling。

13.2 Time of Impact

连续碰撞检测试图找出两个移动形状首次相接触的时间（Time of Impact, TOI）。找到 TOI 后，系统可先推进到接触时刻、求解碰撞，再模拟余下的时间。

课件介绍了 Conservative Advancement 的思路：根据当前两物体的距离和相对运动速度估计一个安全推进步长，逐步接近接触点；距离足够小则认为发生碰撞，未接触前继续推进。

CCD 能减少高速穿透，但代价高于离散检测。因此通常只对高速、体积小、后果显著的对象启用，例如子弹、快速抛射物或高速角色部件。

14. 确定性模拟

14.1 什么是确定性

若初始状态、输入序列和时间步完全相同，模拟每次运行都得到相同结果，就称为确定性模拟。它对回放、锁步网络、同步校验和可复现调试非常重要。

14.2 为什么物理可能不确定

即使公式相同，不确定性也可能来自：

浮点运算在不同 CPU、编译器或指令路径上的舍入差异。
多线程任务调度导致约束求解顺序改变。
容器遍历或广相候选对顺序不稳定。
不同帧率、可变时间步或不同迭代次数。

复杂接触系统会放大很小的数值差异：一个堆叠物体的接触顺序稍变，数帧之后可能演化为完全不同的状态。

14.3 提升可重复性的方向

常见工程策略包括：

使用固定时间步，并确保同一输入按相同节奏进入模拟。
固定对象、接触对与约束的处理顺序。
控制并行归并顺序，避免无序浮点累加。
对关键网络玩法使用一致的平台、数值路径或专门的确定性方案。

确定性并不自动等于“更真实”，它是一项为同步与调试付出的工程约束，需要与性能、平台兼容性和玩法需求共同权衡。

15. 物理系统的一帧管线

可将本讲的核心流程收束为：

Gameplay 施加力/设置运动学目标 → 固定步长积分预测状态 → Broad Phase 生成候选对 → Narrow Phase 生成接触 → 约束/冲量迭代求解 → 穿透修正与休眠管理 → 输出变换、触发事件与查询结果

其中，每个阶段的责任不同：

阶段	主要问题
Shape 与 Actor	什么几何参与物理，谁能被物理推动
Integration	在外力作用下如何预测下一状态
Broad Phase	哪些对象对值得进一步检测
Narrow Phase	是否碰撞，以及接触点、法线、穿透深度是什么
Constraint Solver	怎样施加冲量让速度和接触关系满足约束
Query / Filter / Sleep	如何高效服务玩法逻辑并控制计算规模
CCD / Determinism	如何处理高速物体与可重复模拟需求

理解这种分层后，物理问题就不再是笼统的“碰撞不对”：它可能是形状选型、积分稳定性、候选对过滤、接触生成、求解迭代或时间步策略中的任一环节出了偏差。

16. 易混淆概念

概念	正确理解
Trigger 与实体碰撞体	Trigger 报告重叠事件，通常不施加阻挡响应
Kinematic 与 Dynamic	Kinematic 由外部逻辑移动；Dynamic 的状态由物理力和冲量演化
力与冲量	力是持续作用；冲量是短时间力的积分，直接改变动量
Broad Phase 与 Narrow Phase	前者快速过滤候选，后者精确生成接触信息
GJK 与 SAT	都可用于凸体碰撞判断，但基于不同几何思路与数据访问方式
接触检测与碰撞响应	检测只告诉“发生了什么”，响应负责修改状态以满足约束
Raycast 与真实弹丸	Raycast 是查询；真实弹丸是持续参与物理与碰撞的对象
离散碰撞与 CCD	离散比较若干时刻；CCD 试图寻找运动过程中的首次接触
稳定性与精确性	实时物理通常优先在预算内保持稳定、可控，而非追求无限精确

小结

游戏物理以简化碰撞形状和有限预算模拟可信交互，而不是逐项复刻现实。
Static、Dynamic、Kinematic 与 Trigger 分别承担边界、受力对象、脚本移动对象和事件区域等职责。
半隐式欧拉常以接近显式欧拉的成本换取更好的实时稳定性；固定步长是接触稳定和可重复模拟的重要基础。
刚体旋转引入角速度、力矩、转动惯量和角动量，接触冲量会同时影响平移与旋转。
碰撞检测先由广相减少对象对，再由窄相生成接触点、法线与穿透深度。
GJK、SAT 等算法服务凸体窄相；约束求解器再将接触信息转为法向、恢复与摩擦冲量。
Raycast、分组过滤、休眠、CCD 和确定性策略使物理系统能够在真实项目中兼顾玩法、性能和同步需求。

参考资料

B站视频：10. 游戏引擎中物理系统的基础理论和算法